1. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицейИмеет ли игра седловую точку?
Решение:
Найдем по каждой строчке платежной матрицы минимальное число αi = min (αi1, αi2, αi3) – это гарантированный выигрыш игрока А, при выборе им соответствующей стратегии. Чтобы получить максимально возможный гарантированный выигрыш, игрок А должен выбрать ту стратегию, для которой αij имеет максимальное значение – α = max(α1, α2, α3) – это нижняя цена игры.
Для игрока В выберем по каждому столбцу максимальное число βj = max(α1j, α2j, α3j) – это гарантированный проигрыш игрока В при выборе им стратегии Вj. Найдем минимальное из этих чисел β = min (β 1, β 2, β 3) – это верхняя цена игры. Занесем полученные данные в таблицу 1.
Нижняя цена игры α = 8 равна верхней цене игры β = 8. Значит, игра имеет седловую точку. Для игрока А оптимальная стратегия – А1, для игрока В оптимальная стратегия – В1.
Ответ: α = β = 8, игра имеет седловую точку, оптимальные стратегии (А1, В1).
Таблица 1 – Определение цены игры платежной матрицы
В1 | В2 | В3 | ||
А1 | 8 | 9 | 9 | α1 =min(8, 9, 9) = 8 |
А2 | 6 | 5 | 8 | α2 =min(6, 5, 8) = 5 |
А3 | 3 | 4 | 5 | α3 =min(3, 4, 5) = 3 |
β1= max(8,6, 3)β1=8 | β2= max(9,5, 4)β2=9 | β3= max(9,8, 5)β3=9 | α =max(8,5, 3) = 8β = min(8, 9, 9) = 8 |
2. Решить графически игру, заданную платежной матрицейРешение:
Дана игра 4 х 2 , то есть у игрока А имеется 4 стратегии, а у игрока В – 2. Поэтому, будем решать игру для игрока В. Построим оси: ОХ – на ней будем отмечать вероятности, с которыми игрок использует ту или иную стратегии, и ОУ – на ней будем откладывать цену игры. На расстоянии единица от оси ОУ проведем еще ось параллельную ей, как показано на рисунке 1.
Если игрок А выбирает стратегию А1, то игрок В, используя свои стратегии с вероятностями (q1, q2), будет проигрывать, в среднем, q1∙α11+q2∙α12 = q1∙(-3) +q2∙(-4). Отметим на оси ОУ α11 = -3, а на оси ей параллельной α12 = -4 и соединим эти точки прямой линией – она показывает, сколько, в среднем, получает игрок В, если А использует стратегию А1, а В чередует стратегии В1 и В2 с некоторыми вероятностями (q1, q2). Аналогично отмечаем на оси ОУ точку -1, а на параллельной ей оси – точку 2 и соединяем отрезком. Получаем линию, показывающую, сколько, в среднем, получает игрок В, если А выбрал стратегию А2. Точно также для А3 и А4.
Для игрока В надо выбрать верхнюю границу, так как он должен рассчитывать, что А выберет ту стратегию, которая соответствует наибольшему проигрышу для игрока В. На рисунке 1 это ломанная А3КА2, выделенная толстой линией. Игроку В следует выбрать ту смешанную стратегию, которая соответствует наименьшему проигрышу для В – точка К. Это точка пересечения прямых, соответствующих стратегиям А3 и А2. Выпишем уравнения этих прямых.
Прямая (А3 А3) проходит через точки с координатами (0;2) и (1;-4). Уравнение этой прямой запишется в следующем виде:
Уравнение прямой (А2 А2), проходящей через точки (0;-1) и (1;2), запишется в следующем виде: Рисунок 1 –Графическое решение
Точка К – точка пересечения этих прямых, имеет координаты, удовлетворяющие системе: Решение системы:
Следовательно, цена игры ν = 0, оптимальная стратегия для игрока В:
Для
Похожие работы
Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы