Читать поиск информации по математике: "Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числа" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Пошукова робота на тему:

Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числа. Дії над комплексними числами. Формули Ейлера. Многочлени . Розклад многочлена на множники.

1. Комплексні числа

1.1. Алгебраїчна форма комплексного числа

Як відомо, в області дійсних чисел не можна добути корінь парного степеня з від’ємного числа, бо не існує такого числа, квадрат якого був би від’ємним. Тому вже квадратне рівняння в області дійсних чисел не має коренів, якщо його дискримінант від’ємний. Вказані обставини приводять до необхідності введення нових чисел так, щоб усі дії, властиві для дійсних чисел, були правильними і для нових чисел, але при цьому, щоб і дія добування кореня була можливою без будь-яких обмежень.

Очевидно, що перш за все треба ввести таке число, щоб його квадрат дорівнював –1. Позначивши його через , одержимо . Звідси . Величина  називається умовною одиницею. Сам термін “уявне число” виник історично і зберігався до цього часу, хоч тепер уже ясно, що ці числа цілком реальні. Користуючись ознакою уявної одиниці, можна скласти таблицю степенів числа :

де  - ціле додатне число.

Числа вигляду  , де  - дійсне число, називаються уявними числами, а числа вигляду  - комплексними, де  i  – дійсні числа.

Побудуємо дві взаємно перпендикулярні осі, одну з яких назвемо уявною, а іншу – дійсною. Відклавши на дійсній осі відрізок довжиною  , а на уявній – відрізок довжиною , можна побудувати точку  (рис. 8.1), яка і є зображенням комплексного числа. При  маємо зображення дійсного числа  на осі  (дійсна вісь),  а при   маємо зображення чисто уявного числа на осі  (уявна вісь). Площина  називається комплексною. Кожній точці  на комплексній площині відповідає одне й тільки одне комплексне число , і навпаки, кожному комплексному числу  відповідає одна й тільки одна точка  комплексної площини. Комплексне число можна також зображати як вектор

            Інакше кажучи, між комплексними числами й відповідними точками (векторами) комплексної площини існує взаємно однозначна відповідність.

            Із геометричної інтерпретації комплексного числа випливає, що числа  і  рівні тоді і тільки тоді,  коли  і . Звідси, як  

          Рис.8.1                       наслідок, маємо ,

                                    якщо  і . Поняття “більше” (>), “менше” (

Похожие работы