Читать курсовая по математике: "Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

,

имеющее Пенлеве.

2.2 СлучайСистема (4) примет вид (38)

С помощью линейного преобразованиясистема (38) приводится к системе, у которой . Поэтому будем рассматривать систему вида

(39)

Исключаяииз системы (39), получим уравнение

(40)

Уравнение (40) не будет иметь подвижных критических особых точек, когда его правая часть будет полиномом поне выше второй степени [1],[2], поэтому надо требовать

.

Учитывая это условие, система (39) перепишется в виде

(41)

Линейным преобразованиемприводим систему (41) к виду

(42)

Найдем необходимые и достаточные условия, при которых система (42) не имеет подвижных критических точек. Введем в систему (42) параметрпо формулам:

.

Получим систему

При , имеем

(43)

Получили систему, упрощенную для системы (42).

2.2.1 Случай

Пусть . Тогда из (43) имеем

Откуда

где- произвольные постоянные.

Для однозначности компонентынеобходимо требовать .

Рассмотрим случай . (44)

Получаем систему:

(45)Исключаяииз системы (45) дляполучим уравнение

(46)

Для однозначности решения уравнения (46) требуем

(47)

В силу (47) уравнение (46) перепишется в виде

(48)

Рассмотрим случаи

(49,а)

(49,б)

2.2.1.1 Случай

При условии (49,а) уравнение (48) перепишется в виде

Для отсутствия подвижных критических особых точек у решений этого уравнения надо требовать, чтобы

.

Это условие выполняется, еслиили . Таким образом имеем

(50,а)

Или (50,б) Покажем, что при условиях (50) система (45) не имеет подвижных критических особых точек.

Пусть . Тогда система (45) примет вид

(51)

Из системы (51) получаем, что компонентаудовлетворяет уравнению

Откуда

,

где- произвольные постоянные. Таким образом, система (51) не имеет подвижных критических особых точек.

Пусть . Тогда система (45) примет вид

(52)

Компоненты удовлетворяет уравнению

.

Получаем

,

где- произвольные постоянные. В данном случае система (52) также не будет иметь подвижных критических особых точек.

2.2.1.2 Случай

Если , то уравнение (48) имеет подвижные критические особые точки.

Если , то уравнение (48) перепишется в виде

(53)

Где

Так как , то .

Таким образом, уравнение (53) перепишется в виде

(54)

Полагая в (54) , получим уравнение

(55)

Уравнение (55), а значит и система (45) не имеет подвижных критических особых точек, только при условии

,(56)

2.2.2 Случай

Из системы (43) исключаеми получаем уравнение для

Уравнение имеет подвижные критические особые точки, так как

В итоге мы можем сформулировать теорему.

Теорема. Для того чтобы система (4) имела однозначные решения необходимо и достаточно, чтобы она принимала один из видов: (14) при условии (15); (10) при условиях , (12), (18) и одном их условий: 1) , 2) , (21), 3) , ; (26) при условии ; (32) при одном из условий: 1) (34), (35), 2) (36); (45) при одном из условий: 1) (49,а), (50,а), 2) (49,а), (50,б), 3) (47), (49,б), , (56).

1. Айнс Э.Л.

Похожие работы