Читать курсовая по математике: "Численное интегрирование разными методами" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Содержание: Задание

Исходные данные

. Вычисление интегралааналитически, методом средних прямоугольников, методом трапеций, методом Симпсона

.1 Аналитически

.2 Метод средних прямоугольников

.2.1 Метод средних прямоугольников при n=1

.2.2 Метод средних прямоугольников при n=2

.3 Метод трапеций

.3.1 Метод трапеций при n=1

.3.2 Метод трапеций при n=2

.4 Метод Симпсона

.4.1 Метод Симпсона при n =1

.4.2 Метод Симпсона при n=2

. Вычисление интеграламетодом Гаусса

2.1 Одноточечная схема метода Гаусса

2.2 Двухточечная схема метода Гаусса

.3 Трехточечная схема метода Гаусса

. Сравнительный анализ точности полученных результатов

. Вычисление интеграла

.1 Аналитически

.2 Метод Гаусса

.2.1Одноточечная схема

.2.2 Двухточечная схема

Вывод

Задание: 1. Вычислить интеграланалитически, а затем численно методами средних прямоугольников, трапеций, Симпсона, принимая n=1 и n=2 (n-количество разбиений отрезка интегрирования)

2. Вычислить этот же интеграл методом Гаусса по одноточечной, двух точечной и трехточечной схемам интегрирования

. Сделать сравнительный анализ точности полученных результатов

. Вычислить интеграланалитически, а затем численно методом Гаусса по одноточечной и двухточечной схемам. Сравнить результаты Исходные данные: a = 0

b =

f(x) = x cos(x)

f(x,y) = 2x2 + y2 1. Вычисление интерграла аналитически, методом средних прямоугольников, методом трапеций, методом Симпсона. .1 Аналитически Для вычисления данного интеграла используем формулу интегрирования по частям: . Пусть: u = x

dv = cos (x) dx Тогда: du = dx

v = sin(x) Следовательно:

Откуда получаем:

1.2 Метод средних прямоугольников Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на константу. В качестве константы можно взять значение функции в любой точке отрезка . Наиболее часто используются значения функции в середине отрезка и на его концах. Соответствующие модификации носят названия методов средних прямоугольников, левых прямоугольников и правых прямоугольников.

По методу средних прямоугольников на интервале [xi,xi+h]имеем 1.2.1 Метод средних прямоугольников для n=1

При n=1:

i=ai+h=b

=

h=(b-a)/n Исходя из этого получаем уравнение: = ((b-a)/n) * ( cos()) Подставляя в полученное уравнение исходные данные получаем: =(( - 0)/1)*((0+(( - 0)/1)/2)*cos(0+(( - 0)/1)/2)) = 0

= 0

Погрешность: R==-2,584 1.2.2 Метод средних прямоугольников для n=2

В данном случае исходный отрезок интегрирования разбивается на 2 отрезка интегрирования: (0;) и (;).

В связи с этим: X1=0

X2=

=

h=(b-a)/n По полученным данным получаем уравнение: = ((b-a)/2)*(((x1+(b-a)/4)*(cos(x1+(b-a)/4))+((x2+(b-a)/4)*

*(cos(x2+(b-a)/4)) Подставляем в полученное уравнение начальные данные и получаем: = ((-0)/2)*(((0+( -0)/4)*(cos(0+( -0)/4))+(( +( -

)/4)* *(cos( + ( -0)/4)) = -1,745

= -1,745 Погрешность: R==-0,636

1.3 Метод трапецийМетод трапеций - метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подинтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию.

Если отрезок (xi;xi+h) является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

=

.3.1 Метод

Похожие работы