Читать контрольная по математике: "Исследование математической модели популяционной динамики" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ

Работа посвящена исследованию актуальной задачи математического моделирования в биологии. Исследуемая модель взаимодействия видов типа конкуренция хищника за жертву представляет собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Все выводы, сделанные на основе качественного анализа модели, подтверждены численными экспериментами.Постановка задачи Модель типа конкуренция хищника за жертву - это модификация модели Лотки-Вольтерра, описывающей динамику численности двух популяций, взаимодействующих по принципу хищник-жертва. Конкуренция хищника за жертву учитывается системой:, (1) где х и у - плотности популяции жертвы и хищника соответственно,

а - скорость размножения популяции жертвы в отсутствие хищника,- удельная скорость потребления популяцией хищника популяции жертвы при единичной плотности обеих популяций,

с - естественная смертность хищника,/b - коэффициент переработки потребленной хищником биомассы жертвы в собственную биомассу,функция, описывающая зависимость скорости выедания жертв от плотности популяций жертвы и хищника.

Поставим перед собой задачу качественного исследования динамики решений системы (1) при различных соотношениях между значениями параметров системы.

Исследование модифицированной модели Проведем качественный анализ системы (1). Для этого исходную модель (2)

, заменой переменных t=t/a, x=au/d, y=av/b приведем к виду: (3) где β=αВ/b.

Качественное исследование предполагает исследование системы на устойчивость. Для этого найдем положение равновесия системы (3), приравняв правую часть к нулю: (4) Получаем точки А и В(0;0) - это особые точки.

Исследуем на устойчивость точку А по первому приближению. Линеаризуем систему (2), и, составив матрицу Якоби, найдем соответствующие собственные значения:

. Для того, чтобы установить устойчивость или неустойчивость решения, рассмотрим несколько случаев, зависимых от знака дискриминанта.

В первом случае при , где , собственные числаявляются комплексными. По классификации особых точек линейных систем на плоскости следует, что нулевое решение устойчиво и особая точка типа «устойчивый фокус». (Рисунок 1.)

Рисунок 1. Устойчивый фокус. В следующем случае приисобственные числа

Нулевое решение устойчиво при.Заметим, что по смысловому значению, т.е. оно лежит на интервале следовательно, особая точка типа «устойчивый узел». (Рисунок 2.)

Рисунок 2. Устойчивый узел. Третий случай определен приДанное условие выполняется при , откуда следует, что вещественные.

Нулевое решение А (-10,-10) неустойчивое типа «седло». Но данное решение нам неинтересно, т.к. по смысловому условию задачи решение положительно. (Рисунок 3.)

Рисунок 3. Седло.

В четвертом случае при и при , откуда следует, что, Нулевое решение А (16,2) устойчиво типа «устойчивый дикритический узел».

Рисунок 4. Дикритический узел.

Чтобы изобразить на рисунке смену возможных динамических режимов системы (3) для точки A, была построена бифуркационная диаграмма. (Рисунок 5.)

Рисунок 5. График зависимости γ от β. Область I, согласно проведенным исследованиям, соответствует случаю 1, в котором особая точка является устойчивым фокусом.

Область II, согласно

Похожие работы