Читать контрольная по математике: "Высшая математика" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Контрольная работа Высшая математика ЗАДАЧА 1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды .

Найдите:

а) длину ребра ;

б) косинус угла между векторами и ;

в) уравнение ребра ;

г) уравнение грани С1; если А1 (-2,2,2),В1(1,-3.0), С1(6,2,4), D1(5,7,-1). Решение. а) Найдем координаты вектора А1В1 по формуле

где - координаты точки А1, -координаты точки В1.

Итак ={1-(-2);-3-2;0-2}={3;-5;-2}. Тогда = =.

Итак, длина отрезка, (или длина векторе) равна . Это и есть искомая длина ребра.

б) Координаты ={3;-5;-2} уже известны, осталось определить координаты вектора ={6- (-2); 2 - 2; 4 - 2}= {8,0; 2}.

Угол между векторами и вычислим по формуле

cos φ =(А1В1, А1С1)

А1В1· А1С1

где скалярое произведение векторов А1В1 и А1С1 равно (,)=3·8+(-5)·0+(-2)=24+0-4=20,

 =,  ==.

Итак, cos φ =20 =10

·

в) Координаты точки А1(-2,2,2) обозначим соответственно Х0 = -2, У0 = 2, Z0 = 2, а координаты точки В1(1,-3,0) через X1 = 1, У1 = -3, Z1 = 0 и воспользуемся уравнением прямой и пространстве, проходящей через две точки:

.

Следовательно, уравнение ребра имеет вид .

г) Обозначим координаты векторов, и через Х1=3, У1= -5, Z1= -2 и Х2=8, У2= 0, Z2=2 соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой

·A1C1 = {Y1·Z2-Y2·Z1;Z1·X2-Z2·X1;X1·Y2-X2·Y2} =

= {(-5)·2-0·(-2);-2·8-2·3;3·0-8·(-5)}={-10,-22,40}

Так как данный вектор перпендикулярен грани С1, то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку (Х0 У0, Z0) перпендикулярно вектору {А;В;С}, которое имеет вид A·(X-X0)+B·(Y-Y0)+С·(Z-Z0)=0.

Подставим координаты точки А1 (Хо= -2, У0=2, Z0=2) и координаты перпендикулярного вектора А= -10, В= -22, С=40 в это уравнение:

- 10 ( X + 2 ) - 22 (У – 2) т 40 ( Z- 2) - 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены - 10 х -22 у + 40z + (-20 + 44-80)=0. Итак, уравнение грани,C1 имеет вид: -10х- 22у + 4О z-56=0 или -5х- lly + 20z-28=0. ЗАДАЧА 2. Решите систему линейных уравнений

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса; Решение.

а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см.[2] глава 10. стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: Решение.

а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера ( см. [2] глава 10, стр. 268). Тогда , где

6) решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнении приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы.

Составим расширенную матрицу данной системы.

-4 4-63

10 -11

3872

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы, чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу.10 -11

-4 4-63

3872

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид.

1 0-11

0 4-10 7

3 872

10 -111·4+(-4)0·4+4 (-1)·4-6 1·4+338 72

10-11

04-107

0810-1

10-1 1

04-10 7

1·(-3)+30·(-3)+8(-1)·(-3)+71·(-3)+2

=Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4,

Похожие работы